3x²-2x-1>0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 - 2x - 1 > 0\), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 - 2x - 1 = 0\) с помощью дискриминанта.
Дискриминант \(D\) можно найти по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -1\). Подставим значения в формулу:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \]
Теперь, когда мы знаем, что дискриминант положительный (\(D > 0\)), это означает, что у уравнения есть два различных корня. Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{1}{3}\).
Теперь будем исследовать знаки функции \(3x^2 - 2x - 1\) на интервалах, определяемых этими корнями. Рассмотрим интервалы:
- \((-\infty, -\frac{1}{3})\)
- \((-frac{1}{3}, 1)\)
- \((1, \infty)\)
Выберем тестовые точки из каждого интервала для подстановки в неравенство:
Для интервала \((-\infty, -\frac{1}{3})\), например \(x = -1\): \[ 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 \] Значит, функция положительна в этом интервале.
Для интервала \((-frac{1}{3}, 1)\), например \(x = 0\): \[ 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \] Значит, функция отрицательна в этом интервале.
Для интервала \((1, \infty)\), например \(x = 2\): \[ 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 \] Значит, функция положительна в этом интервале.
Теперь мы можем записать окончательный ответ к неравенству \(3x^2 - 2x - 1 > 0\):
\[ x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (1, \infty) \]
Это означает, что значение \(x\) удовлетворяет неравенству, если находится в этих интервалах.
