В треугольнике ABC угол A равен 60⁰,угол B равен 45⁰, BC=5√6.Найдите AC

В треугольнике ABC, где угол A равен 60°, угол B равен 45° и сторона BC равна 5√6, мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AC.

Сначала найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 60° - 45° = 75°.

Теперь у нас есть все углы треугольника: угол A = 60°, угол B = 45° и угол C = 75°.

Используем закон синусов, который гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \(a\) — длина стороны BC,
• \(b\) — длина стороны AC,
• \(c\) — длина стороны AB.

В нашем случае:

• \(a = 5\sqrt{6}\) (BC)
• \(\angle A = 60°\)
• \(\angle B = 45°\)

Теперь можем записать:

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin(60°)} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin(45°)} \]

Зная, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставим эти значения:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{12} \]

Также знаем, что \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), следовательно:

\[ 5\sqrt{12} = 10\sqrt{3} \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\sqrt{3} \]

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ AC = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15 \]

Таким образом, длина стороны AC равна 15.