На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и О так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник APCQ является параллелограммом, мы будем использовать свойства параллелограммов и векторов.

1. Обозначим векторы:

   • Пусть \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{D} \) - векторы, соответствующие вершинам точек A, B, C и D соответственно.
   • Поскольку ABCD - параллелограмм, то выполняются следующие равенства: \[ \vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C} \]

2. Точки P и Q расположены на диагонали BD. Мы можем выразить их координаты через векторы:

   • Пусть \( \vec{P} \) и \( \vec{Q} \) - векторы, соответствующие точкам P и Q.
   • Так как P и Q находятся на отрезке BD, можно записать: \[ \vec{P} = (1 - k) \vec{B} + k \vec{D} \quad \text{и} \quad \vec{Q} = (1 - m) \vec{B} + m \vec{D} \] Здесь \( k \) и \( m \) - параметры, определяющие местоположение точек P и Q на отрезке BD.

3. По условию задачи у нас есть равенство: \[ PB = QD \] Можем выразить длины этих отрезков: \[ PB = |\vec{B} - \vec{P}| = |\vec{B} - ((1 - k) \vec{B} + k \vec{D})| = |k \vec{B} + (1 - k) \vec{D} - \vec{D}| = |k \vec{B} - (1-k) \vec{D}| \] и \[ QD = |\vec{Q} - \vec{D}| = |((1 - m) \vec{B} + m \vec{D}) - \vec{D}| = |(1 - m) \vec{B} - (1 - m)\vec{D}|. \]

4. Из условия \(PB = QD\) мы можем записать уравнение: \[ k \cdot |\vec{B} - \vec{D}| = (1 - m) \cdot |\vec{B} - \vec{D}|. \] Это равенство подразумевает, что \( k = 1 - m\).

5. Таким образом, мы можем найти координаты точек P и Q:

   • Если \( k = 1 - m \), тогда: \[ \vec{P} = m \vec{B} + (1 - m) \vec{D}, \] \[ \vec{Q} = (1 - m) \vec{B} + m \vec{D}. \]

6. Теперь рассмотрим векторы \( \vec{AP} \) и \( \vec{CQ} \): \[ \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = [m \vec{B} + (1 - m) \vec{D}] - \vec{A}, \] \[ \vec{CQ} = \vec{Q} - \vec{C} = [(1 - m) \vec{B} + m \vec{D}] - \vec{C}. \]

7. Параллелограмм APCQ будет иметь параллельные противолежащие стороны, если выполняется: \[ \vec{AP} + \vec{CQ} = \vec{A} - \vec{C} = \vec{B} - \vec{D}. \] Сравниваем: \[ \vec{AP} = \vec{CQ}, \] что и доказывает, что APCQ является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник APCQ является параллелограммом.