/x-2/+/x+4/=8

Давайте решим уравнение \(|x - 2| + |x + 4| = 8\). Это уравнение содержит абсолютные значения, поэтому мы рассмотрим разные случаи в зависимости от значений \(x\).

1. Случай 1: \(x - 2 \geq 0\) и \(x + 4 \geq 0\) Это означает, что \(x \geq 2\). В этом случае \(|x - 2| = x - 2\) и \(|x + 4| = x + 4\). Подставим в уравнение: \[ x - 2 + x + 4 = 8 \] \[ 2x + 2 = 8 \] \[ 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Проверяем, что \(x = 3\) удовлетворяет условию \(x \geq 2\). Это решение подходит.

2. Случай 2: \(x - 2 < 0\) и \(x + 4 \geq 0\) Это означает, что \(-4 < x < 2\). В этом случае \(|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2\) и \(|x + 4| = x + 4\). Подставим в уравнение: \[ -x + 2 + x + 4 = 8 \] \[ 6 = 8 \] Это уравнение не имеет решений. Переходим к следующему случаю.

3. Случай 3: \(x - 2 < 0\) и \(x + 4 < 0\) Это значит, что \(x < -4\). В этом случае \(|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2\) и \(|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4\). Подставим в уравнение: \[ -x + 2 - x - 4 = 8 \] \[ -2x - 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad -2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] Проверяем, что \(x = -5\) удовлетворяет условию \(x < -4\). Это решение тоже подходит.

Теперь у нас есть два решения:

1. \(x = 3\)
2. \(x = -5\)

Таким образом, окончательный ответ: \(x = 3\) и \(x = -5\).