Над колодцем глубиной 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?
Для решения задачи можно использовать уравнение движения с постоянным ускорением. В данном случае, ускорение - это ускорение свободного падения (g ≈ 9.81 м/с²), направленное вниз.
- Начнем с уравнения движения по вертикали:
\[ h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
где:
- \( h(t) \) - высота камня в момент времени \( t \),
- \( h_0 \) - начальная высота (так как мы рассматриваем движение относительно дна колодца, \( h_0 = 0 \)),
- \( v_0 \) - начальная скорость (в данном случае \( v_0 = 14 \) м/с, вверх),
- \( g \) - ускорение свободного падения (близко к 9.81 м/с²).
- Так как колодец имеет глубину 10 м, нам нужно узнать, когда камень достигнет дна колодца, то есть \( h(t) = -10 \) м.
Подставим значения в уравнение:
\[ -10 = 0 + 14 t - \frac{1}{2} \cdot 9.81 t^2 \]
Упростим уравнение:
\[ -10 = 14 t - 4.905 t^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 4.905 t^2 - 14 t - 10 = 0 \]
- Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискримината:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 4.905 \), \( b = -14 \), \( c = -10 \).
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 4.905 \cdot (-10) = 196 + 196.2 = 392.2 \]
- Теперь найдем корни уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{392.2}}{2 \cdot 4.905} \]
Теперь вычислим \( \sqrt{392.2} \):
\[ \sqrt{392.2} \approx 19.8 \]
- Подставляем обратно:
\[ t = \frac{14 \pm 19.8}{2 \cdot 4.905} \]
Находим оба возможных решения:
\[ t_1 = \frac{33.8}{9.81} \approx 3.45 \, \text{с} \] \[ t_2 = \frac{-5.8}{9.81} \quad (\text{отрицательное значение, не имеет физического смысла}) \]
Таким образом, камень достигнет дна колодца примерно через 3.45 секунды.
