1/2 + 2 + 3/2 +.. + 15 + 16/2
Чтобы решить выражение \( \frac{1}{2} + 2 + \frac{3}{2} + \ldots + 15 + \frac{16}{2} \), давайте разберёмся с последовательностью чисел и сложением дробей.
Сначала выделим целые числа и дроби:
- Целые числа: \( 2, 3, 4, \ldots, 15 \)
- Дроби: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \ldots, \frac{16}{2} \)
Теперь подсчитаем, сколько целых чисел у нас есть. Это числа от \( 2 \) до \( 15 \), их всего \( 14 \) (включая оба конца).
Теперь посчитаем целую часть:
\[ 2 + 3 + 4 + \ldots + 15 \]
Чтобы найти сумму этих чисел, можно использовать формулу суммы последовательных целых чисел:
\[ S = \frac{n}{2} (a + b) \] где \( n \) — количество слагаемых, \( a \) — первое слагаемое, \( b \) — последнее слагаемое.
В нашем случае:
- \( a = 2 \)
- \( b = 15 \)
- \( n = 15 - 2 + 1 = 14 \)
Теперь подставим значения:
\[ S = \frac{14}{2} (2 + 15) = 7 \cdot 17 = 119 \]
Теперь давайте сложим дробные части:
\[ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \ldots, \frac{15}{2}, \frac{16}{2} \]
Эта последовательность также представляет собой арифметическую прогрессию. Первое слагаемое — \( \frac{1}{2} \), последнее слагаемое — \( \frac{16}{2} = 8 \), а количество слагаемых можно найти по формуле:
Сколько членом является \( \frac{n}{2} \)?
Дроби \(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \ldots\) идут с шагом \( 1 \), и они представляют собой \( n = 8 \) членов.
Сумма дробей:
\[ S = \frac{n}{2} (a + b) = \frac{8}{2} \left( \frac{1}{2} + 8 \right) = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} + 8 \right) = 4 \cdot \left( 8.5 \right) = 34 \]
Теперь складываем обе части:
\[ 119 + 34 = 153 \]
Таким образом, ответ равен \( 153 \).
