В равнобедренной трапеции АВСD основания ВС = 4 см и АD = 10 см. Известно, что tg .A = 2 3 Найдите площадь трапеции. Реши пожалуйста

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, нам нужно использовать формулу площади:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) — это длины оснований трапеции, а \( h \) — высота.

В данной ситуации основания трапеции:

• \( BC = a = 4 \, \text{см} \)
• \( AD = b = 10 \, \text{см} \)

Чтобы найти высоту \( h \), используем данное значение \( \tan A = 2 \sqrt{3} \). В равнобедренной трапеции высота опускается из углов \( A \) и \( D \) до основания \( BC \), разбивая трапецию на два прямоугольных треугольника.

Обозначим высоту как \( h \). Тогда, по определению тангенса, мы имеем:

\[ \tan A = \frac{h}{x} \]

где \( x \) — это половина разности между длинами оснований:

\[ x = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \, \text{см} \]

Теперь мы подставим значение \( x \) в формулу для тангенса:

\[ \tan A = \frac{h}{3} \]

Так как \( \tan A = 2\sqrt{3} \), мы можем записать:

\[ 2\sqrt{3} = \frac{h}{3} \]

Отсюда выразим \( h \):

\[ h = 2\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3} \, \text{см} \]

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{(4 + 10) \cdot 6\sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot 6\sqrt{3} = 42\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь трапеции \( S \) равна \( 42\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).