3/x+3 -2/x-3 = 4/x²-9

Чтобы решить уравнение \( \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9} \), начнем с упрощения выражения.

Поскольку \( x^2 - 9 \) можно разложить на множители, заметим, что \( x^2 - 9 = (x+3)(x-3) \). Теперь перепишем уравнение, подставив это разложение:

\[ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{(x+3)(x-3)} \]

Теперь приведем все части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для левой стороны — это \( (x+3)(x-3) \):

\[ \frac{3(x-3) - 2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{4}{(x+3)(x-3)} \]

Теперь упростим числитель левой части:

\[ 3(x-3) - 2(x+3) = 3x - 9 - 2x - 6 = x - 15 \]

Таким образом, уравнение получается:

\[ \frac{x - 15}{(x+3)(x-3)} = \frac{4}{(x+3)(x-3)} \]

Теперь, когда у нас одинаковые знаменатели, мы можем избавиться от них:

\[ x - 15 = 4 \]

Решим это уравнение:

\[ x = 4 + 15 \] \[ x = 19 \]

Проверим, подходит ли найденное значение \( x = 19 \) для исходного уравнения, подставив его обратно. Также важно убедиться, что значение не делает знаменатели равными нулю:

Подставляя \( x = 19 \):

1. \( x + 3 = 22 \quad (не 0) \)
2. \( x - 3 = 16 \quad (не 0) \)
3. \( x^2 - 9 = 361 - 9 = 352 \quad (не 0) \)

Все проверки верны, значит, решение корректное.

Таким образом, ответ:

\[ x = 19 \]