(2x² - 5X + 2)×(x² - x + 1)>=0
Чтобы решить неравенство \( (2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \geq 0 \), будем следовать поэтапно.
Найдем корни каждого множителя.
Начнем с первого множителя \( 2x^2 - 5x + 2 \). Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9. \] Корни находятся по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}. \]
Теперь рассмотрим второй множитель \( x^2 - x + 1 \). Найдем его дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3. \] Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней. Функция \( x^2 - x + 1 \) всегда положительна, так как её ведущий коэффициент (1) положителен.
Определим интервалы для первого множителя.
Корни первого множителя разбивают числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, \frac{1}{2}) \),
- \( (\frac{1}{2}, 2) \),
- \( (2, +\infty) \).
Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала и проверим знак первого множителя.
Для \( x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ 2(0)^2 - 5(0) + 2 = 2 \quad (\text{положительно}). \]
Для \( \frac{1}{2} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \[ 2(1)^2 - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 \quad (\text{отрицательно}). \]
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 2(3)^2 - 5(3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 \quad (\text{положительно}). \]
Итак, подытожим знаки:
- На интервале \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) — положительно.
- На интервале \( (\frac{1}{2}, 2) \) — отрицательно.
- На интервале \( (2, +\infty) \) — положительно.
- Проверим граничные точки:
В исходном неравенстве \( (2x^2 - 5x + 2)(x^2 - x + 1) \geq 0 \) включаются точки \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \) (так как в них первый множитель равен 0), но второй множитель всегда положителен. Поэтому неравенство выполняется в этих точках.
- Результат:
Соберём все полученные данные: \[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, +\infty). \]
Это и есть решение данного неравенства.
