Петя, Алина и Николай занимаются прополкой огорода, который находится возле дома их бабушки. Работают они с разной скоростью. Вчерашняя работа показала, что Петя и Алина…

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать понятие производительности труда. Давайте обозначим производительность каждого из ребят:

• Пусть \( P \) — производительность Пети (часть гряды, которую он выполяет за 1 минуту).
• Пусть \( A \) — производительность Алины.
• Пусть \( K \) — производительность Николая.

Из условий задачи у нас есть следующие уравнения:

1. Петя и Алина вместе выполняют гряду за 12 минут: \[ P + A = \frac{1}{12} \]

2. Алина и Николай вместе выполняют гряду за 14 минут: \[ A + K = \frac{1}{14} \]

3. Николай и Петя вместе выполняют гряду за 28 минут: \[ K + P = \frac{1}{28} \]

Теперь у нас есть система из трёх уравнений. Мы можем выразить одно из значений через другое и подставить его в оставшиеся уравнения.

Сначала решим первое и второе уравнения для получения производительности Алины и Пети. Для удобства, давайте выразим производительность каждого из них:

1. Из первого уравнения: \[ A = \frac{1}{12} - P \]

2. Подставим \( A \) во второе уравнение: \[ \left( \frac{1}{12} - P \right) + K = \frac{1}{14} \] \[ K = \frac{1}{14} - \frac{1}{12} + P \]

Теперь найдём общий знаменатель для \( \frac{1}{14} \) и \( \frac{1}{12} \): \[ \frac{1}{14} = \frac{3}{42}, \quad \frac{1}{12} = \frac{3.5}{42} \rightarrow \frac{1}{12} = \frac{7}{84} \] Таким образом: \[ \frac{1}{14} - \frac{1}{12} = \frac{1}{42} \]

Следовательно, \( K \) можно выразить как: \[ K = \frac{1}{42} + P \]

Теперь подставим \( K \) в третье уравнение: \[ \left( \frac{1}{42} + P \right) + P = \frac{1}{28} \] \[ \frac{1}{42} + 2P = \frac{1}{28} \]

Приведем к общему знаменателю (84): \[ \frac{2}{84} + 2P = \frac{3}{84} \] \[ 2P = \frac{1}{84} \] \[ P = \frac{1}{168} \]

Теперь найдём производительность Алины, подставив \( P \) в выражение для \( A \): \[ A = \frac{1}{12} - \frac{1}{168} \] Сначала приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{12} = \frac{14}{168} \rightarrow A = \frac{14 - 1}{168} = \frac{13}{168} \]

Теперь для Николая: \[ K = \frac{1}{42} + P = \frac{4}{168} + \frac{1}{168} = \frac{5}{168} \]

Теперь мы уже знаем производительности всех троих:

• Петя: \( P = \frac{1}{168} \)
• Алина: \( A = \frac{13}{168} \)
• Николай: \( K = \frac{5}{168} \)

Сумма их производительностей: \[ P + A + K = \frac{1}{168} + \frac{13}{168} + \frac{5}{168} = \frac{19}{168} \]

Теперь находим, за сколько времени они вместе выполнит работу: \[ T = \frac{1}{P + A + K} = \frac{1}{\frac{19}{168}} = \frac{168}{19} \approx 8.84 \text{ минут} \]

Таким образом, Петя, Алина и Николай вместе выполнят работу примерно за 8.84 минуты.