(3x²+10x+3)×(x²+3x+4)<=0
Чтобы решить неравенство \((3x² + 10x + 3) \times (x² + 3x + 4) \leq 0\), начнем с анализа каждого из множителей по отдельности.
- Анализ первого множителя: \(3x² + 10x + 3\)
Для нахождения корней квадратного уравнения \(3x² + 10x + 3 = 0\), используем дискриминант \(D\), который рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = 3\).
Подставляя значения, получаем: \[ D = (10)² - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения 2 различных корня. Найдем их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Таким образом, \[ x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
- Анализ второго множителя: \(x² + 3x + 4\)
Теперь рассмотрим второй множитель \(x² + 3x + 4 = 0\). Рассчитаем его дискриминант: \[ D = (3)² - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]
Дискриминант отрицательный, что означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, и парабола \(x² + 3x + 4\) всегда положительна. Это значит, что \(x² + 3x + 4 > 0\) для всех \(x\).
- Анализ всего неравенства
Теперь можем проанализировать исходное неравенство: \[(3x² + 10x + 3) \times (x² + 3x + 4) \leq 0\]
Так как второй множитель всегда положителен, знак всего произведения определяет только первый множитель. Поэтому нам нужно решить неравенство: \[ 3x² + 10x + 3 \leq 0 \]
Согласно найденным корням \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -\frac{1}{3}\), мы можем построить интервал:
- Парабола открыта вверх (так как коэффициент при \(x²\) положительный), и будет принимать отрицательные значения между корнями.
- Таким образом, первое неравенство выполняется на интервале:
\[ -3 \leq x \leq -\frac{1}{3} \]
- Ответ
Решение неравенства \((3x² + 10x + 3) \times (x² + 3x + 4) \leq 0\) будет: \[ x \in [-3, -\frac{1}{3}] \]
Вывод: все \(x\) в данном интервале являются решениями неравенства.
