Доказать, что число 16³+31⁴-2 делится на 15
Чтобы доказать, что число \(16^3 + 31^4 - 2\) делится на 15, мы можем использовать свойство делимости по модулю. Мы будем проверять это выражение по модулю 3 и модулю 5, так как 15 = 3 * 5. Если выражение делится на оба из этих числа, то оно делится и на 15.
1. Проверим по модулю 3:
Сначала найдём \(16 \mod 3\) и \(31 \mod 3\):
\[ 16 \mod 3 = 1 \quad (\text{так как } 16 \div 3 = 5 \text{ и остаток } 1) \]
\[ 31 \mod 3 = 1 \quad (\text{так как } 31 \div 3 = 10 \text{ и остаток } 1) \]
Теперь подставим значения в выражение и найдём его по модулю 3:
\[ 16^3 \mod 3 = 1^3 \mod 3 = 1 \]
\[ 31^4 \mod 3 = 1^4 \mod 3 = 1 \]
Теперь сложим:
\[ 16^3 + 31^4 - 2 \mod 3 = 1 + 1 - 2 = 0 \mod 3 \]
Это означает, что \(16^3 + 31^4 - 2\) делится на 3.
2. Проверим по модулю 5:
Теперь найдём \(16 \mod 5\) и \(31 \mod 5\):
\[ 16 \mod 5 = 1 \quad (\text{так как } 16 \div 5 = 3 \text{ и остаток } 1) \]
\[ 31 \mod 5 = 1 \quad (\text{так как } 31 \div 5 = 6 \text{ и остаток } 1) \]
Подставим значения в выражение и найдём его по модулю 5:
\[ 16^3 \mod 5 = 1^3 \mod 5 = 1 \]
\[ 31^4 \mod 5 = 1^4 \mod 5 = 1 \]
Теперь сложим:
\[ 16^3 + 31^4 - 2 \mod 5 = 1 + 1 - 2 = 0 \mod 5 \]
Это означает, что \(16^3 + 31^4 - 2\) делится на 5.
Заключение:
Так как выражение делится на 3 и на 5, оно также делится на 15. Таким образом, мы доказали, что \(16^3 + 31^4 - 2\) делится на 15.
