Моторная лодка проплыла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 10 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна 5 км/ч. Таким образом, при движении против течения скорость лодки будет \( v - 5 \) км/ч, а при движении по течению – \( v + 5 \) км/ч.
Теперь, согласно условиям задачи, лодка проплыла 96 км против течения и вернулась обратно. Обозначим время, затраченное на путь против течения, как \( t_1 \) часов, а время на обратный путь по течению как \( t_2 \) часов. Из условия известно, что:
\[ t_2 = t_1 - 10 \]
Рассчитаем время в пути. Для пути против течения:
\[ t_1 = \frac{96}{v - 5} \]
Для пути по течению:
\[ t_2 = \frac{96}{v + 5} \]
Теперь подставим выражение для \( t_2 \) в уравнение:
\[ \frac{96}{v + 5} = \frac{96}{v - 5} - 10 \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \( (v - 5)(v + 5) \):
\[ 96(v - 5) = 96(v + 5) - 10(v^2 - 25) \]
Раскроем скобки:
\[ 96v - 480 = 96v + 480 - 10v^2 + 250 \]
Сократим \( 96v \) с обеих сторон:
\[ -480 = 480 - 10v^2 + 250 \]
Соберем все выражения в одну сторону:
\[ -480 - 480 - 250 = -10v^2 \] \[ -1210 = -10v^2 \]
Теперь, разделим обе стороны на -10:
\[ v^2 = 121 \]
Извлекем квадратный корень:
\[ v = 11 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет \( 11 \) км/ч.
