Теплоход проходит по течению реки от пункта А до пункта В, рассто- яние между которыми 180 км, и после стоянки возвращается в пункт А. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 70 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Давайте решим эту задачу по шагам!
Данные:
- Расстояние от пункта А до пункта В: 180 км
- Скорость течения реки: 4 км/ч
- Время стоянки: 10 часов
- Общее время в пути: 70 часов
Обозначим переменные:
- Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна \( v \) км/ч.
- Тогда скорость теплохода при движении вниз по течению (от А до В) будет \( v + 4 \) км/ч.
- Скорость теплохода при движении вверх по течению (от В до А) будет \( v - 4 \) км/ч.
Время в пути:
- Время, затраченное на путь от А до В: \[ t_1 = \frac{180}{v + 4} \]
- Время, затраченное на путь от В до А: \[ t_2 = \frac{180}{v - 4} \]
Составим уравнение: Суммируем время в пути и время стоянки: \[ t_1 + t_2 + 10 = 70 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{180}{v + 4} + \frac{180}{v - 4} + 10 = 70 \] Упростим уравнение: \[ \frac{180}{v + 4} + \frac{180}{v - 4} = 60 \]
Умножим обе части уравнения на (v + 4)(v - 4), чтобы избавиться от дробей: \[ 180(v - 4) + 180(v + 4) = 60(v^2 - 16) \] Упростим: \[ 180v - 720 + 180v + 720 = 60v^2 - 960 \] \[ 360v = 60v^2 - 960 \] Переносим все на одну сторону: \[ 60v^2 - 360v - 960 = 0 \]
Делим уравнение на 60: \[ v^2 - 6v - 16 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]
Корни уравнения: \[ v = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \] Получаем два корня: \[ v_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем \( v = 8 \) км/ч.
Ответ: Скорость теплохода в неподвижной воде составляет 8 км/ч.
