Расстояние между пристанями А и Б, находящимися на реке, равно 5 км. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. Через 1 ч после отплытия лодка достигла пристани Б, сразу развернулась и вернулась к пристани А в момент, когда плот доплыл до пристани Б. Модуль скорости лодки относительно воды постоянный. Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( v_b \) — скорость моторной лодки относительно воды (в км/ч);
- \( v_t \) — скорость течения реки (в км/ч).
Расстояние между пристанями А и Б составляет 5 км. Лодка отплывает из А и достигает Б за 1 час, а затем разворачивается и возвращается в момент, когда плот доплывает до Б.
Поездка лодки в одну сторону: Лодка плыла от А до Б 1 час, значит, \[ 5 = v_b - v_t \quad (1) \] Эта формула учитывает, что лодка плыла против течения.
Поездка лодки обратно: Лодка возвращается от Б к А. Теперь ее скорость будет равна \( v_b + v_t \). Время, которое она затрачивает на обратный путь, можно обозначить как \( t \). Тогда: \[ 5 = (v_b + v_t) t \quad (2) \]
Время, затраченное плотом: Плот движется с постоянной скоростью, равной скорости течения реки \( v_t \). Он доплывает от А до Б, преодолевая 5 км, поэтому время, затраченное плотом, будет равно: \[ t_{плота} = \frac{5}{v_t} \]
Таким образом, мы знаем, что лодка возвращается к моменту, когда плот достигает Б. Итак, время, затраченное моторной лодкой на путь обратно (т.е. время возвращения), равно времени, которое потребовалось плоту, чтобы добраться от А до Б: \[ t = t_{плота} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{5}{v_t} \quad (3) \]
Итак, подставляем это значение во второе уравнение (2): \[ 5 = (v_b + v_t) \left( \frac{5}{v_t} \right) \]
Разделим обе стороны на 5: \[ 1 = \frac{(v_b + v_t)}{v_t} \quad \Rightarrow \quad 1 = \frac{v_b}{v_t} + 1 \]
Отсюда следует: \[ \frac{v_b}{v_t} = 0 \]
Однако, это свидетельствует о том, что лодка должна двигаться быстрее потока. Подставим \( v_b = v_t + 5 \) из уравнения (1) в выражение в (2): \[ (v_t + 5 + v_t)t = 5 \]
Теперь подставим \( t \) из (3): \[ (2v_t + 5) \left( \frac{5}{v_t} \right) = 5 \]
После упрощения: \[ 2v_t + 5 = v_t \quad \Rightarrow \quad v_b = 2v_t. \]
Теперь мы можем сказать, что скорость лодки относительно воды \( v_b \) в 2 раза больше скорости течения \( v_t \).
Ответ: скорость лодки относительно воды в 2 раза больше скорости течения.
