Расстояние между пристанями А и Б, находящимися на реке, равно 5 км. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. Через 1 ч после отплытия лодка достигла пристани Б, сразу развернулась и вернулась к пристани А в момент, когда плот доплыл до пристани Б. Модуль скорости лодки относительно воды постоянный. Чему равна скорость течения реки?

Для решения данной задачи обозначим:

• скорость моторной лодки относительно воды - \( v_b \) (км/ч),
• скорость течения реки - \( v_t \) (км/ч),
• расстояние между пристанями А и Б - \( d = 5 \) км.

Плот, предположительно, плывет со скоростью течения реки \( v_t \), а моторная лодка движется относительно воды с постоянной скоростью \( v_b \).

1. Время движения плота: Плот плывет от пристани А до Б, и расстояние составляет 5 км. Оно движется со скоростью \( v_t \). Время, за которое плот доплывет до пристани Б, будет равно: \[ t_п = \frac{d}{v_t} = \frac{5}{v_t}. \]

2. Время движения лодки: Лодка плывет от А до Б, а затем возвращается обратно. Она прибывает в Б за 1 час. За это время она покрывает расстояние 5 км в одну сторону и 5 км в другую.

   Время, за которое лодка доплывает до Б, можно записать как: \[ t_л = \frac{5}{v_b - v_t}. \] Затем лодка разворачивается и возвращается к пристани А: \[ t_возврат = \frac{5}{v_b + v_t}. \]

   Общее время её путешествия: \[ t_л + t_возврат = 1 \text{ ч}. \]

   Подставим выражения: \[ \frac{5}{v_b - v_t} + \frac{5}{v_b + v_t} = 1. \]

   Упростим данное уравнение: \[ 5 \left( \frac{1}{v_b - v_t} + \frac{1}{v_b + v_t} \right) = 1. \]

   Перепишем его: \[ \frac{5(v_b + v_t) + 5(v_b - v_t)}{(v_b - v_t)(v_b + v_t)} = 1, \] что упрощается до: \[ \frac{10v_b}{v_b^2 - v_t^2} = 1. \]

   Умножим обе стороны на \( v_b^2 - v_t^2 \): \[ 10v_b = v_b^2 - v_t^2. \]

   Перепишем это уравнение: \[ v_b^2 - 10v_b - v_t^2 = 0. \]

3. Выразим \( v_t \): Это квадратное уравнение относительно \( v_b \) и \( v_t \).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( t_п = \frac{5}{v_t} \)
2. \( v_b^2 - 10v_b - v_t^2 = 0 \)

Сначала найдем \( v_t \). Из первого уравнения можно выразить \( v_t \) через \( t_п \): \[ t_п = t_л = 1 \text{ ч} \implies \frac{5}{v_t} = 1 \implies v_t = 5 \text{ км/ч}, \]

Теперь, подставив \( v_t \) в квадратное уравнение \( v_b^2 - 10v_b - 25 = 0 \), мы получим: \[ v_b^2 - 10v_b - 25 = 0. \]

Решим это уравнение с использованием формулы для квадратных уравнений \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ v_b = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times (-25)}}{2 \times 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 100}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} \] \[ v_b = 5 \pm 5\sqrt{2}. \]

Таким образом, скорость течения реки \( v_t \) равна 5 км/ч. Это значение соответствует условиям задачи.