Расстояние между пристанями А и Б, находящимися на реке, равно 5 км. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. Через 1 ч после отплытия лодка достигла пристани Б, сразу развернулась и вернулась к пристани А в момент, когда плот доплыл до пристани Б. Модуль скорости лодки относительно воды постоянный. Через какое время после разворота лодка встретила плот?
Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Обозначим скорость плота как \(V_p\) (в км/ч) и скорость моторной лодки как \(V_l\) (в км/ч).
Из условия задачи известно, что расстояние между пристанями A и B равно 5 км. Моторная лодка плыла 1 час до пристани B и, следовательно, за это время она прошла 5 км: \[ V_l \cdot 1 = 5 \implies V_l = 5 \text{ км/ч}. \]
В момент, когда моторная лодка достигла пристани B, плот только начинал свой путь. Мы обозначим время, за которое плот доплыл до пристани B, как \(t_p\). Тогда плот плыл к пристани B еще \(t_p\) часов. Зная, что он доплывет до B, когда лодка вернется на точку A, можно выразить это через скорость плота: \[ 5 = V_p \cdot t_p \implies t_p = \frac{5}{V_p}. \]
Как только лодка достигла пристани B и сразу развернулась, она начала двигаться обратно к пристани A. Она плыла обратно, и давайте обозначим время, за которое лодка вернется к пристани A, как \(t_l\). Путь, по которому лодка возвращалась, также составлял 5 км, поэтому: \[ 5 = V_l \cdot t_l \implies t_l = \frac{5}{V_l} = \frac{5}{5} = 1 \text{ час}. \]
Теперь мы знаем, что когда лодка вернулась к A, прошло время: \[ t_p + t_l = t_p + 1. \] Так как лодка вернулась в тот момент, когда плот доплыл до B, получается, что: \[ 1 + t_p = t_p + 1 \implies 1 + t_p = 1 + \frac{5}{V_p}. \]
Плот был в пути \(t_p\) часов, в то время как лодка вернулась после 1 часа на обратный путь. Это указывает на то, что лодка сразу после разворота встретила плот через некоторое время. Обозначим время, через которое лодка встретила плот после разворота, как \(t_{встр}\).
На момент встречи, лодка от плота будет находиться на расстоянии 5 км, где: \[ 5 = V_l \cdot t_{встр} + V_p \cdot t_{встр}. \] Учитывая, что \(V_l = 5\), можно подставить: \[ 5 = 5 \cdot t_{встр} + V_p \cdot t_{встр}. \]
Обратите внимание, что лодка плыла всю дорогу к точке встречи, и плот также плывет к точке встречи. Значит: \[ 5 = t_{встр} (5 + V_p). \]
Теперь найдите время встречи: \[ t_{встр} = \frac{5}{5 + V_p}. \]
Чтобы ответить на вопрос, необходимо знать скорость плота. Мы пока не установили, но в этой задаче можно решить, что время встречи лодки с плотом будет неизменным, когда они встретятся по пути обратно.
Таким образом, время, через которое лодка встретит плот после разворота, составит ту же величину, что и время, за которое вернулась обратно лодка, что совпадает со временем, которое понадобилось плоту для того, чтобы проплыть 5 км до пристани B.
Делая вывод, лодка встретилась с плотом через 1 час после разворота.
