Из пункта А у пункт В одновременно выехали 2 автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости…
Из пункта А у пункт В одновременно выехали 2 автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте км/ч
Для решения данной задачи обозначим скорость первого автомобилиста через \( v \) км/ч. Тогда время, за которое первый автомобилист проедет весь путь \( S \), можно выразить как:
\[ t_1 = \frac{S}{v} \]
Второй автомобилист проехал первую половину пути \( \frac{S}{2} \) со скоростью \( v - 10 \) км/ч, а вторую половину пути \( \frac{S}{2} \) со скоростью 84 км/ч.
Время, за которое второй автомобилист проедет первую половину пути:
\[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} = \frac{S}{2(v - 10)} \]
Время, за которое он проедет вторую половину пути:
\[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{84} = \frac{S}{168} \]
Общее время в пути второго автомобилиста:
\[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{2(v - 10)} + \frac{S}{168} \]
Поскольку оба автомобилиста прибыли одновременно, мы можем приравнять времена:
\[ \frac{S}{v} = \frac{S}{2(v - 10)} + \frac{S}{168} \]
Упростим уравнение, сократив \( S \) (при \( S \neq 0 \)):
\[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 10)} + \frac{1}{168} \]
Теперь умножим всё уравнение на \( 168v \cdot 2(v - 10) \) для устранения дробей:
\[ 168 \cdot 2(v - 10) = 168 \cdot v + 2v(v - 10) \]
Раскроем скобки:
\[ 336(v - 10) = 168v + 2v^2 - 20v \]
Упростим уравнение:
\[ 336v - 3360 = 168v + 2v^2 - 20v \]
Соберем все члены в одну сторону:
\[ 2v^2 - 188v + 3360 = 0 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ v^2 - 94v + 1680 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-94)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1680 = 8836 - 6720 = 2116 \]
Теперь находим корни:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{94 \pm \sqrt{2116}}{2} \]
Вычислим \( \sqrt{2116} = 46 \):
\[ v = \frac{94 \pm 46}{2} \]
Таким образом, у нас два возможных значения:
\[ v_1 = \frac{140}{2} = 70 \] \[ v_2 = \frac{48}{2} = 24 \]
Поскольку по условию задачи скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, то нам подходит только \( v = 70 \) км/ч.
Таким образом, скорость первого автомобилиста составляет 70 км/ч.
