Реши предел: lim_(x →0)((x + 1)/(x))^x

Чтобы решить предел

\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^x, \]

начнем с преобразования выражения внутри предела.

Мы можем перезаписать дробь:

\[ \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}. \]

Следовательно, наш предел становится:

\[ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x. \]

К сожалению, при \(x \to 0\) выражение \(\frac{1}{x}\) стремится к бесконечности. Поэтому мы рассмотрим предел в другой форме, воспользовавшись логарифмом:

\[ L = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \implies \ln L = \lim_{x \to 0} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right). \]

Теперь рассмотрим \(x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\). Сделаем замену переменной: положим \(y = \frac{1}{x}\), тогда, когда \(x \to 0\), \(y \to \infty\). Перепишем предел:

\[ \ln L = \lim_{y \to \infty} \frac{\ln(1 + y)}{y}. \]

Теперь мы можем использовать правило Лопиталя для вычисления данного предела, так как он имеет форму \(\frac{\infty}{\infty}\):

\[ \ln L = \lim_{y \to \infty} \frac{\ln(1 + y)}{y}. \]

Применяя правило Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя: \(\frac{d}{dy}[\ln(1+y)] = \frac{1}{1+y}\),
• Производная знаменателя: \(\frac{d}{dy}[y] = 1\).

Следовательно:

\[ \ln L = \lim_{y \to \infty} \frac{\frac{1}{1+y}}{1} = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{1+y} = 0. \]

Таким образом, мы получаем:

\[ \ln L = 0 \implies L = e^0 = 1. \]

Таким образом, предел равен:

\[ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x + 1}{x}\right)^x = 1. \]