3х²-7х-10≥0
Чтобы решить неравенство \(3x^2 - 7x - 10 \geq 0\), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \(3x^2 - 7x - 10 = 0\) с помощью дискриминанта.
Дискриминант находится по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 3\), \(b = -7\) и \(c = -10\).
Подставим значения: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 \]
Дискриминант положительный, что значит, у уравнения есть два различных корня. Найдём их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляя значения, получим: \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 13}{6} \]
Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\)
- \(x_2 = \frac{7 - 13}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)
Теперь мы имеем два корня: \(x_1 = \frac{10}{3}\) и \(x_2 = -1\).
Неравенство \(3x^2 - 7x - 10 \geq 0\) будет выполняться в промежутках, которые мы должны определить. Мы можем использовать число на числовой прямой и определить знаки выражения в промежутках:
- Выбираем тестовые значения для интервалов:
- Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \(3(-2)^2 - 7(-2) - 10 = 12 + 14 - 10 = 16\) (положительно)
- Для \(-1 < x < \frac{10}{3}\) (например, \(x = 0\)): \(3(0)^2 - 7(0) - 10 = -10\) (отрицательно)
- Для \(x > \frac{10}{3}\) (например, \(x = 4\)): \(3(4)^2 - 7(4) - 10 = 48 - 28 - 10 = 10\) (положительно)
Таким образом, неравенство выполняется в следующих интервалах:
- \(x \leq -1\)
- \(x \geq \frac{10}{3}\)
В итоге, решение неравенства будет: \[ x \in (-\infty, -1] \cup \left[\frac{10}{3}, \infty\right) \]
Если у вас будут вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
