найдите точку максимума функции -(х^2+9)/х

Чтобы найти точку максимума функции \( f(x) = -\frac{x^2 + 9}{x} \), сначала упростим её.

1. Перепишем функцию: \[ f(x) = -\left(x + \frac{9}{x}\right) \]

2. Найдем первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = -\left(1 - \frac{9}{x^2}\right) = -1 + \frac{9}{x^2} \]

3. Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ -1 + \frac{9}{x^2} = 0 \] \[ \frac{9}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \]

4. Теперь определим, является ли это максимумом или минимумом, используя вторую производную: \[ f''(x) = \frac{18}{x^3} \]

   • Подставим \( x = 3 \): \[ f''(3) = \frac{18}{3^3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} > 0 \quad (\text{минимум}) \]

   • Подставим \( x = -3 \): \[ f''(-3) = \frac{18}{(-3)^3} = \frac{18}{-27} = -\frac{2}{3} < 0 \quad (\text{максимум}) \]

Таким образом, точка максимума функции \( f(x) \) находится в точке \( x = -3 \).

5. Вычислим значение функции в точке максимума: \[ f(-3) = -\frac{(-3)^2 + 9}{-3} = -\frac{9 + 9}{-3} = -\frac{18}{-3} = 6 \]

Таким образом, точка максимума функции \( f(x) = -\frac{x^2 + 9}{x} \) находится в точке \( x = -3 \) и значение функции в этой точке равно \( 6 \).