-3х²+7х+6>0
Чтобы решить неравенство \(-3x^2 + 7x + 6 > 0\), давайте сначала найдем его корни, так как они помогут нам определить, на каких интервалах данное неравенство выполняется.
Найдем корни квадратного уравнения: начнем с его равенства нулю: \[-3x^2 + 7x + 6 = 0\]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Здесь \(a = -3\), \(b = 7\), \(c = 6\).
Подставим значения: \[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(-3)(6) = 49 + 72 = 121\]
Теперь вычислим корни: \[x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2(-3)} = \frac{-7 \pm 11}{-6}\]
Это дает два корня: \(x_1 = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{-18}{-6} = 3\).
Определим интервалы: У нас есть корни \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = 3\). Это делит числовую линию на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{2}{3}) \)
- \( (-\frac{2}{3}, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Проверим знак на каждом интервале:
- Для \(x < -\frac{2}{3}\) (например, \(x = -1\)): \(-3(-1)^2 + 7(-1) + 6 = -3 - 7 + 6 = -4\) (отрицательное)
- Для \(-\frac{2}{3} < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \(-3(0)^2 + 7(0) + 6 = 6\) (положительное)
- Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \(-3(4)^2 + 7(4) + 6 = -48 + 28 + 6 = -14\) (отрицательное)
Вывод: Учитывая знак на интервалах, мы видим, что неравенство \(-3x^2 + 7x + 6 > 0\) выполняется на интервале \((- \frac{2}{3}, 3)\).
Таким образом, решение неравенства: \[x \in \left(-\frac{2}{3}, 3\right)\]
