Найти длину и направляющие иосинусы веитора р = = За - 5Ь +с, если а = 4i + 7j + Зk, Ь = i + 2j + k, с = 2i -Зj -k.

Чтобы найти длину вектора р и его направляющие косинусы, начнем с того, что вектор р определяется как

\[ \mathbf{p} = -5\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \]

где а, b и c - это данные векторы. Подставим значения а, b и c:

\[ \mathbf{a} = 4\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 3\mathbf{k}, \] \[ \mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}, \] \[ \mathbf{c} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - \mathbf{k}. \]

Сначала вычислим -5a:

\[ -5\mathbf{a} = -5(4\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = -20\mathbf{i} - 35\mathbf{j} - 15\mathbf{k}. \]

Теперь вычислим сумму b и c:

\[ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) + (2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - \mathbf{k}) = (1 + 2)\mathbf{i} + (2 - 3)\mathbf{j} + (1 - 1)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j}. \]

Теперь сложим результат -5a с b + c:

\[ \mathbf{p} = (-20\mathbf{i} - 35\mathbf{j} - 15\mathbf{k}) + (3\mathbf{i} - \mathbf{j}) = (-20 + 3)\mathbf{i} + (-35 - 1)\mathbf{j} + (-15)\mathbf{k} = -17\mathbf{i} - 36\mathbf{j} - 15\mathbf{k}. \]

Теперь найдем длину вектора p. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |\mathbf{p}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \]

где x, y и z - компоненты вектора. В нашем случае:

\[ |\mathbf{p}| = \sqrt{(-17)^2 + (-36)^2 + (-15)^2} = \sqrt{289 + 1296 + 225} = \sqrt{1810}. \]

Теперь найдем направляющие косинусы. Они определяются как отношение каждой из компонент вектора к его длине:

\[ \cos \alpha = \frac{x}{|\mathbf{p}|}, \quad \cos \beta = \frac{y}{|\mathbf{p}|}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{|\mathbf{p}|}, \]

где α, β и γ - углы между вектором и осями координат. Подставим значения:

\[ \cos \alpha = \frac{-17}{\sqrt{1810}}, \quad \cos \beta = \frac{-36}{\sqrt{1810}}, \quad \cos \gamma = \frac{-15}{\sqrt{1810}}. \]

Таким образом, мы получили:

1. Длина вектора p: \(|\mathbf{p}| = \sqrt{1810}\).
2. Направляющие косинусы:
   • \(\cos \alpha = \frac{-17}{\sqrt{1810}}\),
   • \(\cos \beta = \frac{-36}{\sqrt{1810}}\),
   • \(\cos \gamma = \frac{-15}{\sqrt{1810}}\).

Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!