найти площадь фигуры ограничений графиками функций y=2x-x^2 y=-x

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 2x - x^2\) и \(y = -x\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции друг к другу: \[ 2x - x^2 = -x \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - 3x = 0 \] Факторизуем: \[ x(x - 3) = 0 \] Таким образом, точки пересечения будут при \(x = 0\) и \(x = 3\).

2. Найти функцию площади. Площадь фигуры можно выразить как интеграл от разности функций на промежутке от 0 до 3: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{3} ((2x - x^2) - (-x)) \, dx = \int_{0}^{3} (2x - x^2 + x) \, dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx \]

3. Вычислить интеграл: \[ \int (3x - x^2) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \] Подставляем пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right] - \left[ \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right] \] Это упрощается до: \[ \frac{3 \cdot 9}{2} - 9 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2} \]

4. Записать ответ. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 2x - x^2\) и \(y = -x\), равна \(\frac{9}{2}\) квадратных единиц.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!