В равнобедренной трапеции углы при основании равны по 60°, боковые стороны по 6 см, меньшее основание 4 см. Найти площадь трапеция
Для нахождения площади равнобедренной трапеции, в которой углы при основании равны 60°, боковые стороны равны 6 см, а меньшее основание равно 4 см, можно воспользоваться формулой площади трапеции:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота трапеции.
Определим основания. Пусть \( a \) — большее основание, а \( b = 4 \) см — меньшее основание.
Найдем высоту. В равнобедренной трапеции с углами при основании 60°, можно провести перпендикуляры из верхнего основания к нижнему. Эти перпендикуляры создадут два прямоугольных треугольника, где:
- Один угол равен 60°.
- Высота \( h \) — противолежащая сторона.
- Половина разности оснований \( \frac{a - b}{2} \) — прилежащая сторона.
Из прямоугольного треугольника:
\[ \tan(60°) = \frac{h}{\frac{a - 4}{2}} \]
Зная, что \( \tan(60°) = \sqrt{3} \), можем записать:
\[ \sqrt{3} = \frac{h}{\frac{a - 4}{2}} \implies h = \sqrt{3} \cdot \frac{a - 4}{2} \]
- Найдем длину бокового ребра. Из прямоугольного треугольника с углом 60° и гипотенузой 6 см можно найти \( h \):
\[ h = 6 \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]
- Теперь приравняем выражения для высоты:
\[ 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{a - 4}{2} \]
Сократим на \( \sqrt{3} \):
\[ 3 = \frac{a - 4}{2} \implies a - 4 = 6 \implies a = 10 \]
Теперь у нас есть основания:
- \( a = 10 \) см (большее основание)
- \( b = 4 \) см (меньшее основание)
- Подставим значения в формулу для площади:
\[ S = \frac{(10 + 4) \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{14 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3} \]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет \( 21\sqrt{3} \) см².
