Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний…
Консервный комбинат расфасовывает свою продукцию в цилиндрические жестяные банки различных размеров, которые заказывает на заводе «Жестеупаковка». Банка № 1 имеет внутренний диаметр 70 мм и высоту 95 мм. Банка № 2 имеет размеры 80 мм и 90 мм соответственно. Так как технология изготовления банок стандартизирована, их стоимость определяется только расходом материала (жести), т.е. пропорциональна площади поверхности банки. Чтобы добиться максимальной прибыли, комбинат предпочитает заказывать банки, в которых отношение объёма к стоимости является наибольшим. Какую из двух банок комбинат закажет на заводе?. В ответе укажите отношение объёма к площади поверхности для наиболее выгодной банки.
Чтобы определить, какую из двух банок предпочтет комбинат, нужно сначала рассчитать объем и площадь поверхности каждой банки.
Для цилиндрической банки формулы следующие:
Объем (V): \[ V = \pi r^2 h \] где \( r \) – радиус основания, \( h \) – высота.
Площадь поверхности (S): \[ S = 2\pi r(h + r) \] Здесь \( 2\pi r^2 \) – площадь двух оснований, а \( 2\pi rh \) – площадь боковой поверхности.
Теперь рассчитаем параметры для каждой банки:
Для банки № 1:
- Диаметр: 70 мм ⇒ радиус \( r_1 = \frac{70}{2} = 35 \) мм.
- Высота: 95 мм.
Объем:
\[
V_1 = \pi (35)^2 (95) = \pi \times 1225 \times 95 \approx 36620.95 \text{ мм}^3.
\]
Площадь поверхности: \[ S_1 = 2\pi (35)(95 + 35) = 2\pi (35)(130) = 9100\pi \approx 28651.36 \text{ мм}^2. \]
Для банки № 2:
- Диаметр: 80 мм ⇒ радиус \( r_2 = \frac{80}{2} = 40 \) мм.
- Высота: 90 мм.
Объем: \[ V_2 = \pi (40)^2 (90) = \pi \times 1600 \times 90 \approx 50265.48 \text{ мм}^3. \]
Площадь поверхности: \[ S_2 = 2\pi (40)(90 + 40) = 2\pi (40)(130) = 10400\pi \approx 32672.31 \text{ мм}^2. \]
Теперь рассчитаем отношение объема к площади поверхности для каждой банки:
Для банки № 1: \[ \frac{V_1}{S_1} \approx \frac{36620.95}{28651.36} \approx 1.28 \text{ мм}. \]
Для банки № 2: \[ \frac{V_2}{S_2} \approx \frac{50265.48}{32672.31} \approx 1.54 \text{ мм}. \]
Заключение:
Комбинат предпочтет заказывать банку № 2, так как отношение объема к площади поверхности для неё больше и составляет приблизительно 1.54 мм. Таким образом, банка № 2 обладает более высокой эффективностью в отношении объема к стоимости.
