Найдите интеграл, предварительно преобразовав подынте- гральную функцию: 1) [(3x -5√x) dx: 2) [✓x(3- √x²)dx:
Давайте рассмотрим каждый из предложенных интегралов и преобразуем подынтегральные функции.
- Интеграл \(\int (3x - 5\sqrt{x}) \, dx\):
Первым делом преобразуем функцию под интегралом. Заменим \(\sqrt{x}\) на \(x^{1/2}\):
\[ \int (3x - 5\sqrt{x}) \, dx = \int (3x - 5x^{1/2}) \, dx \]
Теперь, мы можем интегрировать каждую из частей отдельно:
\[ \int 3x \, dx - \int 5x^{1/2} \, dx \]
Используя формулу интегрирования \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), получаем:
\[ \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2} x^2 \]
\[ \int 5x^{1/2} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{10}{3} x^{3/2} \]
Теперь объединяем результаты:
\[ \int (3x - 5\sqrt{x}) \, dx = \frac{3}{2} x^2 - \frac{10}{3} x^{3/2} + C \]
- Интеграл \(\int \sqrt{x} (3 - \sqrt{x^2}) \, dx\):
Сначала упростим подынтегральную функцию. Заменим \(\sqrt{x^2}\) на \(x\):
\[ \int \sqrt{x} (3 - \sqrt{x^2}) \, dx = \int \sqrt{x} (3 - x) \, dx \]
Раскроем скобки:
\[ \int (3\sqrt{x} - x\sqrt{x}) \, dx = \int (3x^{1/2} - x^{3/2}) \, dx \]
Теперь снова интегрируем каждую часть:
\[ \int 3x^{1/2} \, dx - \int x^{3/2} \, dx \]
Воспользуемся ранее упомянутой формулой:
\[ \int 3x^{1/2} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2} \]
\[ \int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2} \]
Теперь объединяем результаты:
\[ \int \sqrt{x} (3 - \sqrt{x^2}) \, dx = 2x^{3/2} - \frac{2}{5} x^{5/2} + C \]
Вот и все! Оба интеграла успешно решены. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
