Найдите интеграл, предварительно преобразовав подынте- гральную функцию:1)[(√х+1)(1/√х-3)dх 2)[√х(√х-1/√х)²dx
Для решения предложенных интегралов мы сначала преобразуем подынтегральные функции.
- Рассмотрим интеграл \(\int \frac{(√x + 1)(\frac{1}{√x} - 3)}{dx}\).
Сначала упростим подынтегральную функцию:
\[ \frac{(√x + 1)(\frac{1}{√x} - 3)}{dx} = (√x + 1) \left( \frac{1}{√x} - 3 \right) \]
Раскроем скобки:
\[ = (√x)(\frac{1}{√x}) - 3(√x) + 1(\frac{1}{√x}) - 3 \]
Упрощаем выражение:
\[ = 1 - 3√x + \frac{1}{√x} - 3 \]
Теперь это можно собрать:
\[ = -3 - 3√x + \frac{1}{√x} \]
Теперь интегрируем каждую часть:
\[ \int \left( -3 - 3√x + x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \]
Интегрируя:
\[ = -3x - 2x^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x} + C \]
- Теперь рассмотрим второй интеграл \(\int \sqrt{x} \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 dx\).
Сначала упростим выражение в скобках:
\[ \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 = (\sqrt{x})^2 - 2(\sqrt{x})(\frac{1}{\sqrt{x}}) + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 = x - 2 + \frac{1}{x} \]
Теперь подставим это обратно в интеграл:
\[ \int \sqrt{x} \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) dx \]
Экспандируем интеграл:
\[ = \int (\sqrt{x} \cdot x - 2\sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}) dx = \int (x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) dx \]
Теперь интегрируем каждую часть:
\[ = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x} + C \]
Таким образом, вы нашли интегралы с преобразованными подынтегральными функциями. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другой темой, не стесняйтесь обращаться!
