- х^2 : 2 + х > 1:2

Чтобы решить неравенство \( \frac{x^2}{2} + x > \frac{1}{2} \), начнем с упрощения.

1. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x^2 + 2x > 1 \]

2. Переносим 1 в левую часть неравенства: \[ x^2 + 2x - 1 > 0 \]

3. Теперь найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 1 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \]

4. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = -1 - \sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = -1 + \sqrt{2} \]

5. Теперь мы имеем два корня: \( x_1 = -1 - \sqrt{2} \) и \( x_2 = -1 + \sqrt{2} \).

6. На числовой прямой требуется определить знаки выражения \( x^2 + 2x - 1 \):

   • При \( x < -1 - \sqrt{2} \) неравенство выполняется.
   • Между корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) (т.е. \( -1 - \sqrt{2} < x < -1 + \sqrt{2} \)) неравенство не выполняется.
   • При \( x > -1 + \sqrt{2} \) неравенство выполняется.

7. Таким образом, ответ: \[ x \in (-\infty, -1 - \sqrt{2}) \cup (-1 + \sqrt{2}, +\infty) \]

Если есть дополнительные вопросы или нужны уточнения по какому-то этапу, задавайте!