сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
Чтобы определить, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник с заданными углами, можно использовать формулу для вычисления углов любого выпуклого многоугольника. Сумма углов выпуклого многоугольника с \( n \) сторонами составляет \( (n-2) \times 180° \).
Теперь можем рассмотреть каждый случай отдельно:
а) Если каждый угол равен 90°:
Сумма углов в этом случае будет равна \( n \times 90° \). Уравнение будет выглядеть так:
\[
n \times 90° = (n - 2) \times 180°
\]
Решая это уравнение, получаем:
\[
90n = 180n - 360 \\
90n = 360 \\
n = 4
\]
Таким образом, многоугольник с углами 90° – это квадрат, и он имеет 4 стороны.
б) Если каждый угол равен 60°:
Теперь сумма углов будет \( n \times 60° \):
\[
n \times 60° = (n - 2) \times 180°
\]
Решая это уравнение:
\[
60n = 180n - 360 \\
120n = 360 \\
n = 3
\]
Это треугольник, у которого 3 стороны.
в) Если каждый угол равен 120°:
Сумма углов здесь будет \( n \times 120° \):
\[
n \times 120° = (n - 2) \times 180°
\]
Решаем уравнение:
\[
120n = 180n - 360 \\
60n = 360 \\
n = 6
\]
Это шестиугольник, у которого 6 сторон.
г) Если каждый угол равен 108°:
Сумма углов будет \( n \times 108° \):
\[
n \times 108° = (n - 2) \times 180°
\]
Решаем это уравнение:
\[
108n = 180n - 360 \\
72n = 360 \\
n = 5
\]
Это пятиугольник, у которого 5 сторон.
Итак, итоги:
- а) 90° - 4 стороны (квадрат)
- б) 60° - 3 стороны (треугольник)
- в) 120° - 6 сторон (шестиугольник)
- г) 108° - 5 сторон (пятиугольник)
