1/x^2-6x+8>=-2
Чтобы решить неравенство \( \frac{1}{x^2 - 6x + 8} \geq -2 \), начнем с приведения его к удобной форме.
Приведем левую часть к общему знаменателю. Чтобы это сделать, сначала выразим -2 с тем же знаменателем \( x^2 - 6x + 8 \): \[ -2 = \frac{-2(x^2 - 6x + 8)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{-2x^2 + 12x - 16}{x^2 - 6x + 8} \]
Теперь переписываем неравенство: \[ \frac{1 + 2x^2 - 12x + 16}{x^2 - 6x + 8} \geq 0 \] Это упрощается до: \[ \frac{2x^2 - 12x + 17}{x^2 - 6x + 8} \geq 0 \]
Перейдем к анализу числителя и знаменателя. Начнем с знаменателя \( x^2 - 6x + 8 \): \[ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) \] Знаменатель меняет знак в точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \).
Далее, найдем корни числителя \( 2x^2 - 12x + 17 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 17 = 144 - 136 = 8 \] Корни можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Числитель всегда положителен, поскольку его дискриминант положителен, поэтому он меняет знак между корнями и остается положительным вне этого диапазона.
Теперь определим интервалы, о которых идет речь:
- Знаменатель \( x^2 - 6x + 8 \) отрицателен при \( x \in (2, 4) \).
- Проверим знаки на интервалах:
- Для \( x < 2 \): оба множителя в знаменателе положительные, значит, выражение положительное.
- Для \( 2 < x < 4 \): один множитель положительный, другой отрицательный; выражение отрицательное.
- Для \( x > 4 \): оба множителя положительные; выражение положительное.
Таким образом, решение неравенства \( \frac{2x^2 - 12x + 17}{x^2 - 6x + 8} \geq 0 \) будет: \[ (-\infty, 2) \cup (4, +\infty) \]
Итак, решением данного неравенства являются \( x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty) \).
