первый член арифметической прогрессивной равен -3, разность её равна -6. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна -15
Чтобы решить задачу, давайте сначала обсудим основные понятия арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый последующий член получается добавлением некоторого постоянного числа (разности) к предыдущему члену. В вашем случае первый член прогрессии (a_1) равен -3, а разность (d) равна -6.
Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
Здесь a_n — это n-й член прогрессии, n — номер члена.
Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Подставим известные значения в формулу суммы с учетом того, что мы хотим, чтобы сумма равнялась -15.
Поскольку разность отрицательная, члены прогрессии будут убывать. Давайте сначала выразим n-й член:
\[ a_n = -3 + (n - 1) \cdot (-6) \] \[ a_n = -3 - 6(n - 1) \] \[ a_n = -3 - 6n + 6 \] \[ a_n = 3 - 6n \]
Теперь подставим a_1 и a_n в формулу для суммы:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (-3 + (3 - 6n)) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (-6n) \] \[ S_n = -3n^2 \]
Мы хотим, чтобы сумма была равна -15:
\[ -3n^2 = -15 \]
Упростим уравнение:
\[ 3n^2 = 15 \] \[ n^2 = 5 \] \[ n = \sqrt{5} \]
Поскольку n должно быть целым числом, и \(\sqrt{5} \approx 2.24\), нам нужно взять n=3, чтобы сумма первых n членов была равна -15 или меньше.
Подсчитаем сумму для n=3:
- Для n=1: a_1 = -3
- Для n=2: a_2 = -9
- Для n=3: a_3 = -15
Теперь сумма этих трех членов:
\[ S_3 = -3 - 9 - 15 = -27 \]
Сумма из трех членов меньше -15. Посмотрим, как она изменится при n=2:
- Для n=1: a_1 = -3
- Для n=2: a_2 = -9
Сумма будет:
\[ S_2 = -3 - 9 = -12 \]
Таким образом, чтобы сумма равнялась -15, необходимо взять 3 члена арифметической прогрессии, поскольку сумма их будет меньше -15, что удовлетворяет условию задачи.
