докажите что а) сумма чисел 4-6√7 и 6√7 +11 б) произведение чисел 2-√3 и √3+2 числа рациональные

Давайте по очереди рассмотрим каждую часть задачи.

а) Нам нужно доказать, что сумма чисел \( 4 - 6\sqrt{7} \) и \( 6\sqrt{7} + 11 \) является рациональным числом.

Сначала найдем сумму:

\[ (4 - 6\sqrt{7}) + (6\sqrt{7} + 11) \]

Сначала объединим все рациональные части (числа без корней) и все иррациональные части (числа с корнями):

Рациональные части: \[ 4 + 11 = 15 \]

Иррациональные части: \[ -6\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 0 \]

Теперь сложим все вместе: \[ 15 + 0 = 15 \]

Число 15 — это рациональное число, следовательно, сумма чисел \( 4 - 6\sqrt{7} \) и \( 6\sqrt{7} + 11 \) является рациональной.

б) Теперь давайте рассмотрим произведение чисел \( 2 - \sqrt{3} \) и \( \sqrt{3} + 2 \).

Выполним умножение:

\[ (2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 2) \]

Используем распределительный закон (умножение двух скобок):

\[ = 2 \cdot \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \]

Теперь упростим это:

\[ = 2\sqrt{3} + 4 - 3 - 2\sqrt{3} \]

Сложим все термины:

Рассмотрим иррациональные части: \[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0 \]

Рассмотрим рациональные части: \[ 4 - 3 = 1 \]

Таким образом, получаем: \[ 0 + 1 = 1 \]

Число 1 — это также рациональное число. Таким образом, произведение чисел \( 2 - \sqrt{3} \) и \( \sqrt{3} + 2 \) является рациональным.

В заключение, обе части задачи подтверждают, что сумма и произведение указанных чисел являются рациональными числами.