(sqrt(6x-x^2))/(x-5)>0

Для решения неравенства \(\frac{\sqrt{6x - x^2}}{x - 5} > 0\) начнем с анализа каждой части выражения.

1. Определим область определения:

   В числителе \(\sqrt{6x - x^2}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 6x - x^2 \geq 0 \] Это можно переписать как: \[ -x^2 + 6x \geq 0 \] или \[ x(6 - x) \geq 0 \] Здесь мы видим, что корни этого уравнения — \(x = 0\) и \(x = 6\). Проанализируем знаки на промежутках \((-\infty, 0)\), \((0, 6)\) и \((6, \infty)\):

   • В промежутке \((-\infty, 0)\) оба множителя отрицательные, значит произведение положительное.
   • В промежутке \((0, 6)\) первый множитель положительный, второй отрицательный, значит произведение отрицательное.
   • В промежутке \((6, \infty)\) оба множителя положительные, значит произведение положительное.

   Таким образом, \(\sqrt{6x - x^2}\) неотрицательно на промежутках \((-\infty, 0]\) и \([6, \infty)\).

2. Проверим знаменатель:

   Знаменатель \(x - 5\) не должен равняться нулю, это приводит к критической точке \(x = 5\). Нам нужно рассмотреть, на каких промежутках этот знаменатель положителен или отрицателен:

   • Для \(x < 5\) (например, \(x=4\)): \(4 - 5 < 0\)
   • Для \(x > 5\) (например, \(x=6\)): \(6 - 5 > 0\)

3. Соберем всю информацию:

   Теперь попробуем решить неравенство, учитывая условия:

   • Для \(\sqrt{6x - x^2} \geq 0\) у нас \(x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty)\)
   • Знаменатель положителен только при \(x > 5\)

   Таким образом, единственный промежуток, где выражение \(\frac{\sqrt{6x - x^2}}{x - 5}\) может быть положительным, это интервал \((6, \infty)\).

4. Соберем окончательный ответ:

   Неравенство \(\frac{\sqrt{6x - x^2}}{x - 5} > 0\) выполняется для \(x \in (6, \infty)\).

Таким образом, ответ:
\[ x \in (6, \infty) \]