Решить пример умножения и деление
Привет! Давай разберёмся с примерами умножения и деления комплексных чисел.
Если я правильно понял, нам нужно решить \( z_1 = 3 + i \) и \( z_2 = 5 - 2i \).
Начнем с умножения:
- \( z_1 \cdot z_2 = (3 + i) \cdot (5 - 2i) \).
Используем распределительное свойство (принцип "FOIL", то есть распределение по всем возможным парам):
\[ (3+ i) \cdot (5 - 2i) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-2i) + i \cdot 5 + i \cdot (-2i) \]
\[ = 15 - 6i + 5i - 2i^2 \].
Так как \( i^2 = -1 \), то
\[ -2i^2 = -2 \cdot (-1) = 2 \].
Теперь объединим все члены:
\[ 15 - 6i + 5i + 2 = 15 - i + 2 = 17 - i \].
Ответ: результат умножения \( z_1 \cdot z_2 = 17 - i \).
Теперь разделение:
- \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + i}{5 - 2i} \).
Для деления комплексных чисел, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе:
Сопряженное число к \( 5 - 2i \) это \( 5 + 2i \):
\[ \frac{3 + i}{5 - 2i} \cdot \frac{5 + 2i}{5 + 2i} = \frac{(3 + i)(5 + 2i)}{(5 - 2i)(5 + 2i)} \].
В числителе используем распределительное свойство:
\[ (3 + i)(5 + 2i) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 2i + i \cdot 5 + i \cdot 2i \]
\[ = 15 + 6i + 5i + 2i^2 \].
Заменяем \( 2i^2 \) на \( 2(-1) = -2 \):
\[ = 15 + 6i + 5i - 2 = 13 + 11i \].
Теперь посчитаем знаменатель:
\[ (5 - 2i)(5 + 2i) = 5^2 - (2i)^2 = 25 - 4i^2 \].
Заменяем \( 4i^2 \) на \( 4(-1) = -4 \):
\[ = 25 - (-4) = 25 + 4 = 29 \].
Теперь наш пример выглядит так:
\[ \frac{13 + 11i}{29} = \frac{13}{29} + \frac{11i}{29} \].
Ответ: результат деления \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{13}{29} + \frac{11i}{29} \).
Надеюсь, это поможет тебе! Если есть вопросы, не стесняйся задавать.
