Побудуйте графік функції . Знайдіть y=4-3x-x² а) при яких значеннях аргументу значення функції додатні; б) при яких значеннях аргументу функція спадає

Хорошо! Давайте разберем вашу задачу по построению графика функции \( y = 4 - 3x - x^2 \) и анализу ее свойств.

1. Построение графика функции: Функция \( y = 4 - 3x - x^2 \) является квадратичной и может быть записана в стандартной форме как \( y = -x^2 - 3x + 4 \). Парабола, соответствующая этой функции, имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный.

   Чтобы построить график, следует найти координаты вершинной точки (максимума, так как ветви направлены вниз) и пересечения с осью \( y \), а также нули функции (пересечения с осью \( x \)).

   • Вершина параболы: Вершина квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = -3 \): \[ x = -\frac{-3}{2 \cdot -1} = \frac{3}{-2} = -1.5 \]

   Подставим \( x = -1.5 \) в функцию для нахождения \( y \): \[ y = 4 - 3(-1.5) - (-1.5)^2 = 4 + 4.5 - 2.25 = 6.25. \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-1.5, 6.25)\).

   • Пересечение с осью \( y \): Когда \( x = 0 \): \[ y = 4 - 3(0) - 0^2 = 4. \]

   • Поиск нулей функции: Уравнение \( 4 - 3x - x^2 = 0 \) можно решить через дискриминант: \[ x^2 + 3x - 4 = 0. \] Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). Корни находят по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2} = 1 \text{ и } -4. \]

2. Анализ функции: а) При каких значениях аргумента значение функции положительное? Функция положительна между ее нулями. То есть \( y > 0 \) при \( -4 < x < 1 \). Чтобы это проанализировать, можно посмотреть на знаки функции в интервалах:

   • Для \( x < -4 \): функция отрицательна.
   • Для \( -4 < x < 1 \): функция положительна.
   • Для \( x > 1 \): функция снова отрицательна.

   Таким образом, функция положительна на интервале \( (-4, 1) \).

   б) При каких значениях аргумента функция убывает? Для квадратичной функции, которая направлена вниз, функция убывает на интервале от вершины до бесконечности: Убывание происходит при \( x > -1.5 \).

В итоге:

• Функция положительна при \( -4 < x < 1 \).
• Функция убывает при \( x > -1.5 \).

Если вам понадобятся дополнительные пояснения или другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!