при каких целых значениях n значение выражения (15n+58)/(5n+9) является целым числом?

Чтобы определить, при каких целых значениях \( n \) выражение \( \frac{15n + 58}{5n + 9} \) является целым числом, необходимо, чтобы числитель \( 15n + 58 \) был кратен знаменателю \( 5n + 9 \).

Давайте обозначим: \( k = 5n + 9 \)

Тогда можем выразить \( n \): \( n = \frac{k - 9}{5} \)

Теперь подставим это значение \( n \) в числитель: \[ 15n + 58 = 15\left(\frac{k - 9}{5}\right) + 58 = 3(k - 9) + 58 = 3k - 27 + 58 = 3k + 31 \]

Теперь наше выражение принимает вид: \[ \frac{15n + 58}{5n + 9} = \frac{3k + 31}{k} \]

Это можно упростить: \[ \frac{3k + 31}{k} = 3 + \frac{31}{k} \]

Для того чтобы \( \frac{15n + 58}{5n + 9} \) было целым числом, необходимо, чтобы \( \frac{31}{k} \) также было целым, то есть \( k \) должно быть делителем 31. Значения \( k \) могут быть \( \pm 1, \pm 31 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( n \):

1. \( k = 1 \): \[ 1 = 5n + 9 \implies 5n = 1 - 9 = -8 \implies n = -\frac{8}{5} \quad (\text{нецелое}) \]

2. \( k = -1 \): \[ -1 = 5n + 9 \implies 5n = -1 - 9 = -10 \implies n = -2 \quad (\text{целое}) \]

3. \( k = 31 \): \[ 31 = 5n + 9 \implies 5n = 31 - 9 = 22 \implies n = \frac{22}{5} \quad (\text{нецелое}) \]

4. \( k = -31 \): \[ -31 = 5n + 9 \implies 5n = -31 - 9 = -40 \implies n = -8 \quad (\text{целое}) \]

Таким образом, целые значения \( n \), при которых \( \frac{15n + 58}{5n + 9} \) является целым числом, это \( n = -2 \) и \( n = -8 \).