Чтобы найти собственную скорость баржи, обозначим её как ( v ) км/ч. Скорость баржи вниз по течению (по течению реки) будет ( v + 5 ) км/ч, а вверх по течению (против течения реки) ( v - 5 ) км/ч.
Баржа прошла 52 км по течению и 48 км против течения. Подсчитаем время, которое она потратила на каждую часть пути.
Время на спуске:
[
t_1 = \frac{52}{v + 5}
]
Время на подъёме:
[
t_2 = \frac{48}{v - 5}
]
Общее время на весь путь составило 5 часов, поэтому можем записать уравнение:
[
t_1 + t_2 = 5
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{52}{v + 5} + \frac{48}{v - 5} = 5
]
Теперь необходимо решить это уравнение. Умножим обе части уравнения на ( (v + 5)(v - 5) ) для избавления от дробей:
[
52(v - 5) + 48(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5)
]
Раскроем скобки:
[
52v - 260 + 48v + 240 = 5(v^2 - 25)
]
Объединим подобные:
[
100v - 20 = 5v^2 - 125
]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
[
5v^2 - 100v - 105 = 0
]
Поделим все элементы на 5:
[
v^2 - 20v - 21 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484
]
Корень дисриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22
]
Теперь используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 22}{2}
]
Это дает два возможных решения:
[
v_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
v = 21 \text{ км/ч}
]
Таким образом, собственная скорость баржи составляет 21 км/ч.
