Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч

Чтобы найти собственную скорость баржи, обозначим её как \( v \) км/ч. Скорость баржи вниз по течению (по течению реки) будет \( v + 5 \) км/ч, а вверх по течению (против течения реки) \( v - 5 \) км/ч.

Баржа прошла 52 км по течению и 48 км против течения. Подсчитаем время, которое она потратила на каждую часть пути.

Время на спуске: \[ t_1 = \frac{52}{v + 5} \]

Время на подъёме: \[ t_2 = \frac{48}{v - 5} \]

Общее время на весь путь составило 5 часов, поэтому можем записать уравнение: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{52}{v + 5} + \frac{48}{v - 5} = 5 \]

Теперь необходимо решить это уравнение. Умножим обе части уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \) для избавления от дробей: \[ 52(v - 5) + 48(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5) \] Раскроем скобки: \[ 52v - 260 + 48v + 240 = 5(v^2 - 25) \] Объединим подобные: \[ 100v - 20 = 5v^2 - 125 \] Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 5v^2 - 100v - 105 = 0 \] Поделим все элементы на 5: \[ v^2 - 20v - 21 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484 \] Корень дисриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \] Теперь используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 22}{2} \] Это дает два возможных решения: \[ v_1 = \frac{42}{2} = 21 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем: \[ v = 21 \text{ км/ч} \]

Таким образом, собственная скорость баржи составляет 21 км/ч.