(x^2-5x+6)√2x-5=0

Решим уравнение \((x^2 - 5x + 6)\sqrt{2x - 5} = 0\).

Для того чтобы это уравнение равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы одна из частей множителей была равна нулю. То есть нам нужно решить следующие два уравнения:

1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
2. \(\sqrt{2x - 5} = 0\)

Начнем с первого уравнения:

1. Решение \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

Это квадратное уравнение можно решить методом факторизации:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]

Теперь находим корни:

\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

\[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).

2. Решение \(\sqrt{2x - 5} = 0\)

Чтобы данное уравнение было равно нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю:

\[ 2x - 5 = 0 \]

Решаем это уравнение:

\[ 2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Итог

Теперь у нас есть три решения: \(x = 2\), \(x = 3\) и \(x = 2.5\).

Все полученные решения нужно проверить, чтобы убедиться, что они не нарушают условия определения корня \(\sqrt{2x - 5}\):

1. Для \(x = 2\): \(2(2) - 5 = -1\) (некорректное значение)
2. Для \(x = 3\): \(2(3) - 5 = 1\) (корректное значение)
3. Для \(x = 2.5\): \(2(2.5) - 5 = 0\) (корректное значение)

Таким образом, окончательные решения уравнения \((x^2 - 5x + 6)\sqrt{2x - 5} = 0\) — это \(x = 3\) и \(x = 2.5\).