(x^2-5x+6)√2x-5=0

Давайте решим уравнение \((x^2 - 5x + 6)\sqrt{2x - 5} = 0\).

Это уравнение произведение двух выражений, и оно равно нулю, когда хотя бы одно из выражений равно нулю. Поэтому мы можем рассмотреть каждое из них отдельно.

1. Решим первое выражение: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Для решения этого квадратного уравнения можем использовать формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Подставляем значения: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

2. Решим второе выражение: \[ \sqrt{2x - 5} = 0 \] Чтобы это уравнение было истинным, подкоренное выражение должно равняться нулю: \[ 2x - 5 = 0 \] Решив его, мы получаем: \[ 2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Теперь у нас есть три решения:

• \(x = 2\)
• \(x = 3\)
• \(x = 2.5\)

Но мы также должны проверить, подходят ли эти значения к условию, что \(\sqrt{2x - 5}\) является действительным числом. Для этого необходимо, чтобы \(2x - 5 \geq 0\), то есть \(x \geq \frac{5}{2}\).

Таким образом, действительными решениями данного уравнения являются только:

• \(x = 3\)
• \(x = 2.5\)

Ответ: \(x = 2.5\) и \(x = 3\).