(5 в степени 1+√2) в степени 1-√2

Для решения выражения \((5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}\) начнем с применения свойств степеней.

1. Сначала перепишем исходное выражение, используя свойство степеней, которое гласит, что \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\[ (5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}} = 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} \]

2. Теперь найдем произведение \((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})\). Это можно упростить, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2\):

\[ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \]

3. Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:

\[ 5^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = 5^{-1} \]

4. Итак, \(5^{-1} = \frac{1}{5}\).

Таким образом, значение выражения \((5^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}\) равно \(\frac{1}{5}\).