В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим радиусы окружностей. Пусть радиус большой окружности равен \( R \), а радиус меньшей окружности равен \( r \). Из условия задачи известно, что ширина кольца, то есть разница радиусов двух окружностей, равна 8. Это можно записать как:

\[ R - r = 8 \quad \text{(1)} \]

Также известно, что хорда, равная 32, касается меньшей окружности. Так как хорда касается окружности, можно представить, что отрезок, соединяющий центр большой окружности с точкой касания, перпендикулярен данной хорде. Этот отрезок равен радиусу меньшей окружности \( r \).

Согласно свойствам хорд в окружности, если \( d \) — это расстояние от центра окружности до хорды, то длина хорды \( L \) и радиус \( R \) связываются следующей формулой:

\[ L = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \]

В нашем случае, длина хорды \( L = 32 \), а \( d = r \) (расстояние от центра до хорды равно радиусу меньшей окружности). Подставим это в формулу:

\[ 32 = 2 \sqrt{R^2 - r^2} \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ 16 = \sqrt{R^2 - r^2} \]

Теперь возведем обе части в квадрат:

\[ 256 = R^2 - r^2 \quad \text{(2)} \]

Теперь решим систему уравнений, состоящую из (1) и (2). Сначала выразим \( R \) через \( r \) из уравнения (1):

\[ R = r + 8 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):

\[ 256 = (r + 8)^2 - r^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 256 = r^2 + 16r + 64 - r^2 \]

Упрощаем:

\[ 256 = 16r + 64 \]

Теперь необходимо решить это уравнение:

\[ 256 - 64 = 16r \] \[ 192 = 16r \] \[ r = \frac{192}{16} = 12 \]

Теперь, используя найденное значение радиуса меньшей окружности, найдем радиус большей окружности:

\[ R = r + 8 = 12 + 8 = 20 \]

Таким образом, мы получили радиусы окружностей:

• Радиус меньшей окружности (\( r \)): 12
• Радиус большей окружности (\( R \)): 20

Ответ: радиус меньшей окружности равен 12, радиус большей окружности равен 20.