Катер прошел 20 км вверх по реке и 30 км вниз, затратив на весь путь 2 ч. какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч?

Для решения задачи, давайте обозначим:

• \( v_c = 25 \) км/ч — скорость катера в стоячей воде.
• \( v_r \) — скорость течения реки (которая нам нужна).
• Учитывая, что катер идет вверх по реке, его эффективная скорость будет \( v_c - v_r \).
• Когда катер движется вниз по реке, его скорость составит \( v_c + v_r \).

Теперь зададим уравнения для времени в пути. Время на движение вверх по реке (20 км) и вниз по реке (30 км) можно выразить следующим образом:

1. Время, затраченное на путь вверх по реке: \[ t_1 = \frac{20}{v_c - v_r} = \frac{20}{25 - v_r} \]

2. Время, затраченное на путь вниз по реке: \[ t_2 = \frac{30}{v_c + v_r} = \frac{30}{25 + v_r} \]

Общее время пути составляет 2 часа, следовательно: \[ t_1 + t_2 = 2 \]

Подставим наши выражения для времени: \[ \frac{20}{25 - v_r} + \frac{30}{25 + v_r} = 2 \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( (25 - v_r)(25 + v_r) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 20(25 + v_r) + 30(25 - v_r) = 2(25^2 - v_r^2) \] Раскроем скобки: \[ 500 + 20v_r + 750 - 30v_r = 2(625 - v_r^2) \] Соберем все члены: \[ 1250 - 10v_r = 1250 - 2v_r^2 \] Преобразуем уравнение: \[ 2v_r^2 - 10v_r = 0 \] Вынесем \( v_r \) за скобку: \[ v_r(2v_r - 10) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. \( v_r = 0 \)
2. \( 2v_r - 10 = 0 \) \(\Rightarrow v_r = 5\)

Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч.