построить график функции по алгоритму с расписаны решениям y=2x²+8x+2 , и найти использую график нули функции и знакопостоянства ,а так же промежутки возрастания и убывания…

Чтобы построить график функции \( y = 2x^2 + 8x + 2 \) и проанализировать ее, выполните следующие шаги:

1. Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \( 2x^2 + 8x + 2 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 2 \), \( b = 8 \), \( c = 2 \).

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 16 = 48 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{3}}{1} \]

Таким образом, нули функции:

\[ x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{3} \]

2. Знак функции

Для определения знака функции, рассмотрим интервалы, которые формируют найденные корни. У нас есть три интервала:

1. \( (-\infty, -2 - \sqrt{3}) \)
2. \( (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) \)
3. \( (-2 + \sqrt{3}, +\infty) \)

Выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте их в функцию.

• Для интервала \( (-\infty, -2 - \sqrt{3}) \), например, \( x = -5 \): \[ y = 2(-5)^2 + 8(-5) + 2 = 50 - 40 + 2 = 12 \quad (\text{положительно}) \]

• Для интервала \( (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) \), например, \( x = -2 \): \[ y = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 8 - 16 + 2 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \]

• Для интервала \( (-2 + \sqrt{3}, +\infty) \), например, \( x = 0 \): \[ y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2 \quad (\text{положительно}) \]

3. Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно определить производную функции:

\[ y' = 4x + 8 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

\[ 4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \]

Теперь рассмотрим знак производной:

• Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = 4(-3) + 8 = -12 + 8 = -4 \) (убывает)

• Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 4(0) + 8 = 8 \) (возрастает)

Таким образом, функция убывает на интервале \( (-\infty, -2) \) и возрастает на интервале \( (-2, +\infty) \).

4. Наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции соответствует еёminimum в критической точке \( x = -2 \):

\[ y(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 8 - 16 + 2 = -6 \]

5. Построение графика

1. На координатной плоскости отметьте нули функции.
2. Отметьте критическую точку и значение функции в ней.
3. Отметьте знак функции на интервалах, которые мы проанализировали.
4. Проведите параболу, которая открыта вверх (так как коэффициент \( a = 2 > 0 \)).

График функции будет выглядеть как U-образная кривая, с наименьшим значением в точке \( (-2, -6) \) и нулями на \( x_1 = -2 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 - \sqrt{3} \).

Теперь вы сможете построить график и анализировать свойства функции!