1-х2/5-х = х/5-х

Чтобы решить уравнение \(1 - \frac{x^2}{5 - x} = \frac{x}{5 - x}\), начнём с того, чтобы избавиться от дробей. Для этого мы можем умножить обе стороны уравнения на \(5 - x\) (при условии, что \(5 - x \neq 0\)):

\[ (1 - \frac{x^2}{5 - x})(5 - x) = x \]

Упрощая левую сторону, получаем:

\[ (1)(5 - x) - x^2 = x \]

Это можно записать как:

\[ 5 - x - x^2 = x \]

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ -x^2 - x + 5 - x = 0 \]

Объединим подобные члены:

\[ -x^2 - 2x + 5 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы сделать коэффициент при \(x^2\) положительным:

\[ x^2 + 2x - 5 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Напомним формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -5\):

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 \]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных решения. Теперь найдём корни с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6} \]

Таким образом, корни нашего уравнения:

\[ x_1 = -1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{6} \]

Проверим, подходят ли эти значения для изначального уравнения, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль. Поскольку \(\sqrt{6} \approx 2.45\), то:

• \(x_1 \approx 1.45\), что допустимо.
• \(x_2 \approx -3.45\), что также допустимо.

Итак, окончательные решения уравнения:

\[ x_1 = -1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{6}. \]