.

Привет! Давай разберёмся с каждым из заданий на этой странице.

Задание 503: Сократите дробь

a) \[ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{30}}{\sqrt{2} - 3} \]

Для сокращения дроби можем домножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя \(\sqrt{2} + 3\): \[ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{30})(\sqrt{2} + 3)}{(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{30})(\sqrt{2} + 3)}{2 - 9} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{30})(\sqrt{2} + 3)}{-7}\]

b) \[ \frac{2\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 3\sqrt{b}} \]

Эта дробь не сокращается дальше, так как числитель и знаменатель — это не одинаковые выражения.

c) \[ \frac{\sqrt{15} - 5}{\sqrt{6} - \sqrt{10}} \]

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое \(\sqrt{6} + \sqrt{10}\): \[ \frac{(\sqrt{15} - 5)(\sqrt{6} + \sqrt{10})}{(\sqrt{6} - \sqrt{10})(\sqrt{6} + \sqrt{10})} = \frac{(\sqrt{15} - 5)(\sqrt{6} + \sqrt{10})}{6 - 10} = \frac{(\sqrt{15} - 5)(\sqrt{6} + \sqrt{10})}{-4}\]

Задание 504: Освободитесь от иррациональности в знаменателе

a) \[ 1 + \frac{a}{\sqrt{x}} \]

Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}\): \[ 1 + \frac{a\sqrt{x}}{x} = 1 + \frac{a\sqrt{x}}{x} \]

b) \[ \frac{b + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} \]

Преобразуем, деление по членам: \[ \frac{b}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \sqrt{b} + 1 \]

Задание 505: Освободитесь от иррациональности в знаменателе

a) \[ \frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \]

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\): \[ \frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(x\sqrt{x} + x\sqrt{y} - \sqrt{xy}\sqrt{x} - \sqrt{xy}\sqrt{y} + y\sqrt{x} + y\sqrt{y})}{x - y} = \frac{(x\sqrt{x} + y\sqrt{y} - 2\sqrt{xy})}{x - y}\]

b) \[ \frac{2b}{\sqrt{ab} + b} \]

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое \(\sqrt{ab} - b\): \[ \frac{2b(\sqrt{ab} - b)}{(\sqrt{ab} + b)(\sqrt{ab} - b)} = \frac{2b(\sqrt{ab} - b)}{ab - b^2} = \frac{2b(\sqrt{ab} - b)}{b(a - b)} = \frac{2\sqrt{ab} - 2b}{a - b} \]

Задание 506: Освободитесь от иррациональности в знаменателе

Давай разберём его следующим: \[ \frac{z^2}{\sqrt{49 - \frac{\pi}{2}}} \]

Домножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{49 - \frac{\pi}{2}}\): \[ \frac{z^2 \sqrt{49 - \frac{\pi}{2}}}{49 - \frac{\pi}{2}} = \frac{z^2 \sqrt{49 - \frac{\pi}{2}}}{49 - \frac{\pi}{2}} \]

Вместо каждого сложного выражения лучше его домножить на сопряжённое выражение знаменателя.

Надеюсь, это поможет! Если у тебя есть какие-то вопросы или тебе нужно дополнительно что-то объяснить, дай знать!