Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения…

Для решения данной задачи, давайте обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v \) (в км/ч). Сначала мы определим, сколько времени уходит теплоходу на то, чтобы пройти в одно направление и вернуться.

1. Время в пути по течению (вперед): Время, которое теплоход тратит на путешествие вниз по течению можно вычислить по формуле: \[ t_1 = \frac{S}{v + u} \] где \( S = 216 \) км — расстояние до пункта назначения, \( u = 5 \) км/ч — скорость течения. Таким образом: \[ t_1 = \frac{216}{v + 5} \]

2. Время в пути против течения (обратно): Время на возвращение против течения можно выразить как: \[ t_2 = \frac{S}{v - u} = \frac{216}{v - 5} \]

3. Итоговое время: По условию задачи, общее время, включая стоянку, равно 23 часа. Время стоянки составляет 5 часов, следовательно, время в пути равно: \[ t_1 + t_2 = 23 - 5 = 18 \text{ часов} \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{216}{v + 5} + \frac{216}{v - 5} = 18 \]

4. Упрощение уравнения: Умножим обе части уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \) для устранения знаменателей: \[ 216(v - 5) + 216(v + 5) = 18(v^2 - 25) \] Результат будет: \[ 216v - 1080 + 216v + 1080 = 18v^2 - 450 \] Таким образом: \[ 432v = 18v^2 - 450 \] Переносим все в одну сторону: \[ 18v^2 - 432v - 450 = 0 \]

5. Решение квадратного уравнения: Делим на 6 для упрощения: \[ 3v^2 - 72v - 75 = 0 \]

   Используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 3 \), \( b = -72 \), \( c = -75 \): \[ D = (-72)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 5184 + 900 = 6084 \] \[ v = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{6} \]

   Находим корень: \[ \sqrt{6084} = 78 \] Теперь подставляем: \[ v = \frac{72 \pm 78}{6} \]

   Рассмотрим два случая:

   1. \( v = \frac{150}{6} = 25 \)
   2. \( v = \frac{-6}{6} = -1 \) (не может быть, скорость не может быть отрицательной).

6. Ответ: Скорость теплохода в неподвижной воде составляет 25 км/ч.