Расстояние от посёлка до турбазы составляет 24 км по реке. В 9.00 моторная лодка вышла на турбазу и в 15.00 этого же дня вернулась обратно. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки 2 км/ч и стоянка на турбазе длилась 1 час?

Для решения задачи давайте обозначим собственную скорость моторной лодки (без учета течения) как \( V \).

1. Определим время в пути. Лодка вышла в 9:00 и вернулась в 15:00. Это означает, что общее время путешествия составило 6 часов. Из этого времени 1 час лодка находилась на стоянке на турбазе. Таким образом, время в пути составит: \[ 6 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 5 \text{ часов}. \]

2. Определим расстояние в одну сторону. Расстояние от поселка до турбазы равно 24 км. Это расстояние лодка преодолевает по течению реки в одном направлении и против течения при возвращении.

3. Обозначим время в пути по течению (в одну сторону) и против течения (в другую сторону). Обозначим время, потраченное на путь к турбазе, как \( t_1 \), а время на обратный путь — как \( t_2 \).

   Тогда мы имеем: \[ t_1 + t_2 = 5 \text{ часов}. \]

   А также:

   • Пусть \( t_1 \) — время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{24}{V + 2}, \]
   • Пусть \( t_2 \) — время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{24}{V - 2}. \]

4. Подставим \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{24}{V + 2} + \frac{24}{V - 2} = 5. \]

5. Умножим обе стороны на \( (V + 2)(V - 2) \) для устранения дробей: \[ 24(V - 2) + 24(V + 2) = 5(V^2 - 4). \]

   Раскроем скобки: \[ 24V - 48 + 24V + 48 = 5V^2 - 20. \] Упростим: \[ 48V = 5V^2 - 20. \]

6. Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 5V^2 - 48V - 20 = 0. \]

7. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704. \]

   Корни уравнения: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{2704}}{10} = \frac{48 \pm 52}{10}. \]

   Рассчитаем корни:

   • Первый корень: \[ V_1 = \frac{100}{10} = 10 \text{ км/ч}, \]
   • Второй корень: \[ V_2 = \frac{-4}{10} = -0.4 \text{ (не имеет смысла)}. \]

Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет 10 км/ч.