Докажите, что если А, В, С и К - произвольные точки, то сумма векторов АВ+ВС+СК+ КС равна нулю.
Для доказательства, что сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KA} = 0 \), начнем с определения этих векторов.
Обозначим векторы следующим образом:
- \( \overrightarrow{AB} \) — вектор от точки A к точке B,
- \( \overrightarrow{BC} \) — вектор от точки B к точке C,
- \( \overrightarrow{CK} \) — вектор от точки C к точке K,
- \( \overrightarrow{KA} \) — вектор от точки K к точке A.
Мы можем выразить каждый вектор через координаты точек:
- Пусть \( A(x_1, y_1) \),
- \( B(x_2, y_2) \),
- \( C(x_3, y_3) \),
- \( K(x_4, y_4) \).
Теперь выразим векторы через координаты:
- \( \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \)
- \( \overrightarrow{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) \)
- \( \overrightarrow{CK} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3) \)
- \( \overrightarrow{KA} = (x_1 - x_4, y_1 - y_4) \)
Теперь сложим эти векторы:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KA} = (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) + (x_1 - x_4) \]
Теперь последовательно упрощаем:
- Сложим все x-компоненты: \[ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) + (x_1 - x_4) = -x_1 + x_2 - x_2 + x_3 - x_3 + x_4 - x_4 + x_1 = 0 \]
Таким образом, сумма x-компонент равна 0. Аналогично можно проделать и для y-компонент:
- Сложим все y-компоненты: \[ (y_2 - y_1) + (y_3 - y_2) + (y_4 - y_3) + (y_1 - y_4) = -y_1 + y_2 - y_2 + y_3 - y_3 + y_4 - y_4 + y_1 = 0 \]
Таким образом, сумма y-компонент также равна 0.
Поскольку обе суммы (как x-компоненты, так и y-компоненты) равны 0, мы получаем:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KA} = (0, 0) \]
Что означает, что векторы в сумме дают нулевой вектор.
Таким образом, математически мы доказали, что сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KA} = 0 \).
