|3x+1|-|x-4|=2x-3

Чтобы решить уравнение |3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3, нам необходимо рассмотреть различные случаи, поскольку абсолютные значения определяются по-разному в зависимости от значений переменной x.

1. Найдём точки пересечения:
   • Для |3x + 1| = 0: 3x + 1 = 0 → x = -1/3
   • Для |x - 4| = 0: x - 4 = 0 → x = 4

Эти точки делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, -1/3)
• [-1/3, 4)
• [4, +∞)

Теперь мы рассмотрим каждую из этих областей отдельно.

1. Интервал (-∞, -1/3):

В этом интервале:

• |3x + 1| = -(3x + 1) = -3x - 1
• |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4

Подставляя в уравнение: \[ -3x - 1 + x - 4 = 2x - 3 \] \[ -2x - 5 = 2x - 3 \] \[ -5 + 3 = 2x + 2x \] \[ -2 = 4x \] \[ x = -1/2 \] Поскольку -1/2 является частью интервала (-∞, -1/3), это решение подходит.

2. Интервал [-1/3, 4):

В этом интервале:

• |3x + 1| = 3x + 1
• |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4

Подставим в уравнение: \[ 3x + 1 + x - 4 = 2x - 3 \] \[ 4x - 3 = 2x - 3 \] \[ 4x - 2x = 0 \] \[ 2x = 0, \] \[ x = 0. \] Поскольку 0 находится внутри [-1/3, 4), это решение также подходит.

3. Интервал [4, +∞):

В этом интервале:

• |3x + 1| = 3x + 1
• |x - 4| = x - 4

Подставим в уравнение: \[ 3x + 1 - (x - 4) = 2x - 3 \] \[ 3x + 1 - x + 4 = 2x - 3 \] \[ 2x + 5 = 2x - 3 \] Убираем 2x: \[ 5 = -3 \] Это равенство не имеет решений. Поэтому в этом интервале решений нет.

Итоговые решения

Уравнение имеет два решения:

• x = -1/2
• x = 0

Таким образом, мы нашли все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!